EL MOVIMIENTO CIRCULAR

Posted in on 14:58 by JACQUI HERRERA

Magnitudes angulares


En el movimiento circular, la posición del objeto, usando coordenadas polares queda perfectamente definida conociendo el ángulo, θ, ya que la distancia al origen tomando éste en el centro de giro es constante e igual al radio de giro R.
En un lapso de tiempo Δt la partícula habrá girado un ángulo Δθ. La velocidad angular media se define como el cociente entre el ángulo girado y el tiempo empleado para ello y la velocidad angular instantánea, ω como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada deθ:
\left \langle \omega \right \rangle = {\Delta \theta \over \Delta t} \qquad \omega = \lim_{\Delta t \to \infty} {\Delta \theta \over \Delta t} = {d \theta \over d t} = \dot \theta \quad (1)
Análogamente, en un lapso de tiempo Δt la partícula habrá variado su velocidad en Δω. La aceleración angular media es el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo empleado para ello y la aceleración angular instantánea, α como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada de ω y segunda derivada de θ:
\left \langle \alpha \right \rangle = {\Delta \omega \over \Delta t} \qquad \alpha = \lim_{\Delta t \to \infty} {\Delta \omega \over \Delta t} = {d \omega \over d t} = \dot \omega = \ddot \theta \quad (2)
La unidad de velocidad angular es el radián por segundo (rad/s); y la de aceleración angular rad/s².
Usualmente se representan la velocidad y aceleración angulares empleando los pseudovectores de la figura, cuyo módulo es el de la velocidad y aceleración angulares instantáneas respectivamente y dirección perpendicular al plano que contiene la trayectoria circular. y con el sentido convencionalmente atribuido siguiendo la regla del sacacorchos o de la mano derecha (cerrando la mano derecha en el sentido del giro hacia donde apunta el pulgar).


Velocidad constante

Es el caso más sencillo que se pueda plantear. Si consideramos el punto de la figura en un instante cualquiera y tomamos como origen del sistema de coordenadas el centro de giro, siendo R el radio de giro, θ0; el ángulo inicial (en t=0), θ el ángulo girado en el tiempo t y ω la velocidad angular, constante, el ángulo girado en un tiempo t será, integrando la ecuación (1):





Coordenadas cartesianas del punto.
\theta(t) = \omega \cdot t + \theta_0 \qquad (3)
y las coordenadas cartesianas del punto serán (véase trigonometría):
x(t) = R \cdot \cos \left( \omega t + \theta_0 \right)
y(t) = R \cdot \sin \left( \omega t + \theta_0 \right) \qquad (4)
El vector r que indica la posición del punto en cada instante será:
\vec r(t) = R \cdot \cos \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat i + R \cdot \sin \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat j
\vec r(t) = R \cdot \left[\cos \left( \omega t + \theta_0 \right) \vec i + \sin \left( \omega t + \theta_0 \right) \vec j \right] \qquad (5)
La velocidad del punto es la variación de su posición a lo largo del tiempo, de modo que derivando la expresión anterior respecto del tiempo, obtenemos:
\vec v(t) = {d {\vec r} \over dt} = R \omega \cdot \left[- \sin \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat i + \cos \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat j \right] \qquad (6)
Vector cuyo módulo es Rω, constante, y cuya dirección como fácilmente puede comprobarse es perpendicular al vector de posición, es decir, tangente a la trayectoria circular (1). Vectorialmente podríamos escribir la ecuación anterior (véase producto vectorial):
\vec v= \vec \omega \times \vec r \qquad (7)
La aceleración del punto es la variación de su velocidad a lo largo del tiempo, así que derivando de nuevo, obtenemos:
\vec a(t) = {d {\vec v} \over dt} = R {\omega}^2 \cdot \left[- \cos \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat i - \sin \left( \omega t + \theta_0 \right) \hat j \right] \qquad (8)
Al igual que en el caso anterior el módulo de la aceleración, Rω², es constante y su dirección es la contraria del vector de posición: radial y hacia el centro de rotación, la aceleración centrípeta definida con anterioridad. Análogamente al caso anterior podremos escribir la ecuación del modo siguiente:
\vec a= \vec \omega \times \vec v \qquad (9)
En virtud de la relación existente entre el vector de posición y su segunda derivada (la aceleración) podemos escribir la ecuación diferencial del movimiento circular uniforme:
{ d^2 \vec{r}(t) \over d t^2 } = - {\omega}^2 \cdot \vec{r}(t) \qquad (10)
Obtenida la aceleración, el módulo de la fuerza centrípeta que actúa sobre el objeto (cuya dirección será la de la aceleración) puede deducirse de la segunda ley de Newton:
F = - m \cdot {\omega}^2 \cdot R \qquad (11)

Periodo

El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico ya que la partícula pasa por la misma posición a intervales de tiempo regulares, dicho lapso de tiempo se denomina período y se representa usualmente por T. Tomando la posición de la partícula en un instante inicial cualquiera deberá cumplirse que ésta recorre un ángulo 2Π en un tiempo T, matemáticamente:
\theta (t) + 2 \Pi = \theta (t+T) \quad \Rightarrow \quad \theta_0 + \omega t + 2 \Pi = \theta_0 + \omega t + \omega T \quad \Rightarrow \quad T = {2 \Pi \over \omega} \qquad (12)
La inversa del periodo se denomina frecuencia (f).
f = {1 \over T} = {\omega \over 2 \Pi} \qquad (13)
La unidad del periodo es el segundo y la de la frecuencia el hercio. Físicamente un movimiento circular con un periodo de 10 segundos indica que la partícula tarda dicho tiempo en dar una vuelta completa, mientras que si la frecuencia es de 10 Hz significa que da diez vueltas en un segundo.

Notación compleja


La posición del punto utilizando números complejos puede escribirse z=x+iy, donde i, la unidad imaginaria, es la raíz cuadrada de -1; en esencia el plano de la trayectoria se compone entonces de dos dimensiones, una real y otra imaginaria equivalentes a las que antes denotábamos x e y. Empleando la fórmula de Euler, la posición compleja vendría reprentada por la ecuación:
\ z(t) = R \cdot e^{i\omega t} \qquad (14)
La derivada de la ecuación anterior es la velocidad compleja:
\dot{z}(t) = i\omega R \cdot e^{i\omega t} \qquad (15)
Como puede apreciarse la velocidad está multiplicada por el factor i lo que significa que la velocidad es perpendicular a la posición (tangencial).
Derivando de nuevo obtenemos la aceleración compleja:
\ddot{z}(t) = - \omega^2 R \cdot e^{i\omega t} \qquad (16)

Si el movimiento circular es uniformemente variado el objeto recorre arcos de circunferencia crecientes en intervalos de tiempo iguales.
Donde el signo menos indica que la aceleración centrípeta tiene la dirección de la posición pero sentido contrario. De nuevo la ecuación diferencial del movimiento puede escribirse
\ddot{z(t)} = - \omega^2 \cdot z(t) \qquad (17)

Aceleración constante

De la ecuación (2):
{d \omega \over dt} = \alpha \quad \Longrightarrow \quad d \omega = \alpha \cdot dt \qquad (18)
Integrando la expresión anterior entre el instante inicial (t=0) en el que conocemos la velocidad angular ω0 y un instante cualquiera (t) obtendremos la velocidad angular en función del tiempo:
\int_{\omega_0}^{\omega} \operatorname \omega (t) = \int_{0}^{t} \alpha \cdot dt = \, \Longrightarrow \, \omega (t) = \omega_0 + \alpha t \qquad (19)
Si integramos la velocidad angular, suponiendo que en el instante inicial el ángulo era θ0:
\int_{\theta_0}^{\theta} d\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) \cdot dt = \int_{t_0}^{t} (\omega_0 + \alpha \cdot t) \cdot dt = \omega_0 \int_{0}^{t} dt + \alpha \int_{0}^{t} t \cdot dt
\Longrightarrow \, \theta (t) = \theta_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {1}{2} \alpha \cdot t^2 \qquad (20)
Se observará que estas ecuaciones son análogas a las del movimiento rectilíneo. La velocidad y aceleración lineales instantáneas pueden obtenerse generalizando las ecuaciones (7) y (9):
\begin{matrix} \vec v= \vec \omega \times \vec r & (21) \\ \vec a= \vec \omega \times \vec v + \vec \alpha \times \vec r & (22) \end{matrix}
Donde el primer sumando de la aceleración corresponde a la aceleración centrípeta y el segundo a la tangencial.


Componentes intrínsecas


Sistemas de coordenadas.
Para la representación vectorial del movimiento circular es más cómodo «subirse» al objeto adoptando un sistema de referencia móvil que utilizar las coordenadas cartesianas. Los vectores directores de este sistema de referencia son el tangente a la circunferencia en cada punto, τ, y el normal o radial, n, tales que:
\hat \tau = -\sin \theta \, \hat i + \cos \theta \, \hat j
\hat n = -\cos \theta \, \hat i - \sin \theta \, \hat j \qquad (23)
A diferencia del caso anterior, ahora los vectores varían a medida que se mueve el objeto, si los derivamos en función del tiempo:
\frac {d \hat \tau }{d t}= \dot \theta \left[ -\cos \theta \, \hat i -\sin \theta \, \hat j \right] = \dot \theta \, \hat n \qquad \qquad \frac {d \hat n }{d t}= \dot \theta \left[ \sin \theta \, \hat i - \cos \theta \, \hat j \right] = - \dot \theta \, \hat \tau \qquad (24)
Respecto de dicho sistema de referencia, la posición del objeto será:
\vec {r} = -R \, \hat n \qquad (25)
Derivando obtenemos la velocidad:
\vec {v} = - R {d \hat n \over dt} = R \dot \theta \, \hat \tau \qquad (26)
La velocidad en un movimiento circular sólo tiene componente tangencial. Derivando de nuevo:
\vec {a} = R {d \dot \theta \over dt} \, \hat \tau + R \dot \theta {d \, \hat \tau \over dt} = R \ddot \theta \hat \tau + R {\dot \theta}^2 \hat n \qquad (27)
Como vemos, existe siempre un aceleración centrípeta proporcional a la velocidad angular y en aquellos casos que el movimiento sea acelerado, una aceleración tangencial con su valor.


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